已知平行于X轴的直线y=a(a≠0)与函数y=1/x和函数y=x的图像分别交于点A和点B,又有定点P(2,0)已知经过A,B,P三点的抛物线,平移后得到y=(9/5)x^2的图像,求点P到直线AB的距离

Question

已知平行于X轴的直线y=a(a≠0)与函数y=1/x和函数y=x的图像分别交于点A和点B,又有定点P(2,0)
已知经过A,B,P三点的抛物线,平移后得到y=(9/5)x^2的图像,求点P到直线AB的距离

Answer 1

（1）设第一象限内的点B（m,n）,
则tan∠POB=nm=1/9,
得m=9n,
又点B在函数y=1x的图象上,得n=1m,
所以m=3（-3舍去）,
点B为（3,1/3）,
而AB∥x轴,所以点A（1/3,1/3）,
所以AB=3-1/3=8/3．
（2）由条件可知所求抛物线开口向下,
设点A（a,a）,B（1/a,a）,
则AB=1/a-a=8/3,
所以3a^2+8a-3=0,
解得a=-3或a=1/3．
当a=-3时,点A（-3,-3）,B（-1/3,-3）,
因为顶点在y=x上,
所以顶点为（-5/3,-5/3）,
所以可设二次函数为y=k（x+5/3）^2-5/3,
点A代入,解得k=-3/4,
所以所求函数解析式为y=-3/4（x+5/3）2-5/3
同理,当a=1/3时,所求函数解析式为y=-3/4（x-5/3）^2+5/3；
（3）设A（a,a）,B（1a,a）,由条件可知抛物线的对称轴为x=a2+12a,
设所求二次函数解析式为：y=9/5（x-2）（x-（a+1/a）+2）,
点A（a,a）代入,
解得a1=3,a2=6/13,
所以点P到直线AB的距离为3或6/13．