如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=23，∠ABC=π3．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A-A1C-B的正弦值．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 中，AB=2，AC=AA ₁ =2

3

，∠ABC= (π)/(3) ．
（1）证明：AB⊥A ₁ C；
（2）求二面角A-A ₁ C-B的正弦值．

Answer 1

（1）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得 sin∠ACB=(1)/(2) ⇒∠ACB=(π)/(6)
∴AB⊥AC
以A为原点，分别以AB、AC、AA ₁ 为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图
则A（0，0，0） A 1 (0，0，2

3

) B（2，0，0） C(0，2

3

，0)

AB

=(2，0，0)

A 1 C

=(0，2

3

，-2

3

)

AB

•

A 1 C

=0⇒

AB

⊥

A 1 C

即AB⊥A ₁ C．
（2）由（1）知

A 1 B

=(2，0，-2

3

)
设二面角A-A ₁ C-B的平面角为α， cosα=cos＜

n

，

m

＞=(n•m)/(|n||m|) = (23)/(2×5) =(15)/(5)
∴ sinα=

1- cos 2 α

=(10)/(5)