（2014•福建模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角B-A1C-A的大小为φ，当A1A=AC=2BC=2时，求sinθ•sinφ的值．

Question

（2014•福建模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角B-A₁C-A的大小为φ，当A₁A=AC=2BC=2时，求sinθ•sinφ的值．

Answer 1

（1）证明：如右图，作A在A₁B上的射影D．
∵平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，
又BC⊂平面A₁BC，∴AD⊥BC，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，∴BC⊥侧面A₁ABB₁，
∵AB⊂侧面A₁ABB₁，
∴AB⊥BC．…6′
（2）由（1）知，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，√(3)，0），C（1，0，0），A₁ （0，√(3)，2），
∴

AC

＝(1，−√(3)，0)，

BC

＝(1，0，0)，

CA1

＝(−1，√(3)，2)
设平面A₁BC的一个法向量为

m

＝(x