含45度的直角三角板的直角顶点与桌面接触1,含45度的直角三角板的直角顶点与桌面接触,两直角边都与桌面成30度的角,则这三角析所在平面与桌面所成锐二面角的大小为()A,30度B,45度C,60度D,ar

Question

含45度的直角三角板的直角顶点与桌面接触
1,含45度的直角三角板的直角顶点与桌面接触,两直角边都与桌面成30度的角,则这三角析所在
平面与桌面所成锐二面角的大小为()
A,30度 B,45度 C,60度 D,arccos1/3
2,棱长均为a的正四棱锥的外接球体积为()
A,πa^3√2/3 B,2a^3π/3 C,a^3π2√2/3 D,4a^3π/3
3,正三角形的中心顶点和边的距离之比为2:1,与此相类似,正四面体中心到顶点和底面
的距离之比为________________

Answer 1

1
过斜边中点作与桌面的垂线;
设直角边长度为2a,则垂线段长度为a;
而斜边中线长度为√2a,
则可知所求二面角的平面角的正弦值为 a/(√2a)=√2/2;
即所成锐二面角的大小为45度.
2
底面是正方形,边长为a,面积就是a的平方.过棱锥顶点做高,则高、一条棱锥、底面正方形对角线的一半构成直角三角形,底面正方形对角线的一半长度为√2a/2,所以高为√2a/2.所以体积为底面积乘高除3,
得
V=πa^3√2/3
3
设棱长为√3a,则底面中心到底面顶点的距离为a.
设体中心到底面中心距离为h,体中心到顶点距离(即外接球半径)为R,则由勾股定理,R^2=a^2+h^2;
而(R+h)^2 +a^2=(√3a)^2
→(R+h)^2=2a^2;
则整理可得,
h/(h+R)=1:3.