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在正四面体ABCD中,M,N分别是BC,AD中点.(1)用反证法证明:直线AM与直线CN为异面直线;(2)求异面直线AM与CN所成角的余弦值.
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(1)用反证法证明:直线AM与直线CN为异面直线;
(2)求异面直线AM与CN所成角的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)假设直线AM与直线CN不是异面直线.
①若AM∥CN,则A,M,C,N四点共面于α,
∵直线BC上有两点M,C都在面α内,∴BC⊂α,
∵直线AD上有两点A,M都在面α内,∴AD⊂α,
∴ABCD是平面图形,与已知正四面体ABCD相矛盾,
∴直线AM和CN不是平行线.
②若AM和CN是相交线,交点为E,
∵AM⊂平面ABC,CN⊂平面ADC,
∴点E是平面ABC和平面ADC的公共点,
∴点E与点C重合,
∴点M与点C重合,
与已知条件M是BC中点矛盾,
∴AM和CN不是相交线.
∴假设不成立,
∴直线AM与直线CN为异面直线.
(2)连结DM,取DM中点O,连结CO,NO,
则NO∥AM,∴∠CNO是异面直线AM与CN所成角,
设正四面体的棱长为a,则CN=AM=DM=
)2=
a,
∴ON=
AM=
a,CO=
=
a,
∴cos∠CNO=
①若AM∥CN,则A,M,C,N四点共面于α,

∵直线BC上有两点M,C都在面α内,∴BC⊂α,
∵直线AD上有两点A,M都在面α内,∴AD⊂α,
∴ABCD是平面图形,与已知正四面体ABCD相矛盾,
∴直线AM和CN不是平行线.
②若AM和CN是相交线,交点为E,
∵AM⊂平面ABC,CN⊂平面ADC,
∴点E是平面ABC和平面ADC的公共点,
∴点E与点C重合,
∴点M与点C重合,
与已知条件M是BC中点矛盾,
∴AM和CN不是相交线.
∴假设不成立,
∴直线AM与直线CN为异面直线.
(2)连结DM,取DM中点O,连结CO,NO,
则NO∥AM,∴∠CNO是异面直线AM与CN所成角,
设正四面体的棱长为a,则CN=AM=DM=
a2−(
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∴ON=
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(
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∴cos∠CNO=
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