在正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD中点．（1）用反证法证明：直线AM与直线CN为异面直线；（2）求异面直线AM与CN所成角的余弦值．

Question

在正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD中点．
（1）用反证法证明：直线AM与直线CN为异面直线；
（2）求异面直线AM与CN所成角的余弦值．

Answer 1

（1）假设直线AM与直线CN不是异面直线．
①若AM∥CN，则A，M，C，N四点共面于α，
∵直线BC上有两点M，C都在面α内，∴BC⊂α，
∵直线AD上有两点A，M都在面α内，∴AD⊂α，
∴ABCD是平面图形，与已知正四面体ABCD相矛盾，
∴直线AM和CN不是平行线．
②若AM和CN是相交线，交点为E，
∵AM⊂平面ABC，CN⊂平面ADC，
∴点E是平面ABC和平面ADC的公共点，
∴点E与点C重合，
∴点M与点C重合，
与已知条件M是BC中点矛盾，
∴AM和CN不是相交线．
∴假设不成立，
∴直线AM与直线CN为异面直线．
（2）连结DM，取DM中点O，连结CO，NO，
则NO∥AM，∴∠CNO是异面直线AM与CN所成角，
设正四面体的棱长为a，则CN=AM=DM=√(a2−((1)/(2)a))2=(√(3))/(2)a，
∴ON=(1)/(2)AM＝(√(3))/(4)a，CO=√(((1)/(2)a)2+((√(3))/(4)a)2)=(√(7))/(4)a，
∴cos∠CNO=

作业帮用户 2016-11-19

问题解析

（1）假设直线AM与直线CN不是异面直线．分别排除AM∥CN与AM和CN是相交线两种情况，由此得到假设不成立，所以直线AM与直线CN为异面直线．
（2）连结DM，取DM中点O，连结CO，NO，则NO∥AM，所以∠CNO是异面直线AM与CN所成角，由此能求出异面直线AM与CN所成角的余弦值．

名师点评

本题考点：

异面直线及其所成的角；异面直线的判定．

考点点评：

本题考查异面直线的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．

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