如图，正方形ABCD中，延长边BC到E，AE分别交BD，CD于点P，Q．当AP=QE时，PQ：AE=．

Question

如图，正方形ABCD中，延长边BC到E，AE分别交BD，CD于点P，Q．当AP=QE时，PQ：AE=______．

Answer 1

∵BP平分∠ABE，DP平分∠ADQ，△ABE∽△QDA，∴(AP)/(PE)=(AB)/(BE)=(DQ)/(AD)=(PQ)/(AP)．
从而，AP²=PE•PQ=AQ•PQ．
故P为AQ的黄金分割点．显然AP＞PQ．
令PQ=1，则
AP=QE=(√(5)+1)/(2)，AE=1+2×(√(5)+1)/(2)=√(5)+2．
∴PQ：AE=1：（√(5)+2）．
故答案为1：（√(5)+2）．