梯形ABCD,AD//BC,AB⊥BC,AD=CD=5,AB=4,点P在BC上运动,点E在射线CD上,∠APB=∠EPC1）当PE=CE时,求BP的长.2)当E在线段CD上时,设PB=X,DE=Y,求Y关于X的解析式,X的范围.3）连接PD,若以A,P,D为顶点的三角形与△PCE相似

Question

梯形ABCD,AD//BC,AB⊥BC,AD=CD=5,AB=4,点P在BC上运动,点E在射线CD上,∠APB=∠EPC
1）当PE=CE时,求BP的长.
2)当E在线段CD上时,设PB=X,DE=Y,求Y关于X的解析式,X的范围.
3）连接PD,若以A,P,D为顶点的三角形与△PCE相似,求BP.

Answer 1

（1）根据已知,得BC=8,∠APB=∠EPC
∵PE=CE∴∠EPC=∠C
∴∠APB=∠C
∴AP∥DC
∴PC=AD=5
∴BP=3
即BP=3时,PE=CE
（2）延长PE与AD的延长线交于点F,
∵BP=x∴PC=8-x,AF=2x
∵DE=y,DC=AD=5∴EC=5-y,DF=2x-5
∵AF∥BC
∴ DF/PC=DE/EC
即( 2x-5)/(8-x)=y/(5-y)
∴ y=5(2x-5)/(x+3)
∵点E在线段CD上
∴函数定义域为 5/2≤x＜8
（3）∵AD∥BC∴∠DAP=∠APB,
∵∠APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC
若△APD与△PCE相似,则有如下两种情况：
（ⅰ）∠ADP=∠C时,
推出BP=2时,△APD∽△PEC；
（ⅱ）∠APD=∠C时
又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
∴PD2=AD•PC
∵PD²=4²+（5-x）²
∴16+（5-x）²=5（8-x）
解得 x1,2=(5±√21)/2,经检验,均符合题意
故 x1,2=(5±√21)/2时,△APD∽△PCE；
∴当BP为2, (5±√21)/2时,△APD与△PCE相似．