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(2013•黄石)如图1,点C将线段AB分成两部分,如果ACAB=BCAC,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金
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(2013•黄石)如图1,点C将线段AB分成两部分,如果
=
,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1、S2,如果
=
,那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠C的平分线交AB于点D,请问点D是否是AB边上的黄金分割点,并证明你的结论;
(2)若△ABC在(1)的条件下,如图3,请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线,并证明你的结论;
(3)如图4,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90°,对角线AC、BD交于点F,延长AB、DC交于点E,连接EF交梯形上、下底于G、H两点,请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线,并证明你的结论.
AC |
AB |
BC |
AC |
S1 |
S |
S2 |
S1 |
(1)如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠C的平分线交AB于点D,请问点D是否是AB边上的黄金分割点,并证明你的结论;
(2)若△ABC在(1)的条件下,如图3,请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线,并证明你的结论;
(3)如图4,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90°,对角线AC、BD交于点F,延长AB、DC交于点E,连接EF交梯形上、下底于G、H两点,请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB=72°.
∵CD是角平分线,
∴∠ACD=∠BCD=36°,
∴∠A=∠ACD,
∴AD=CD.
∵∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°,
∴∠CDB=∠B,
∴BC=CD.
∴BC=AD.
在△BCD与△BCA中,∠B=∠B,∠BCD=∠A=36°,
∴△BCD∽△BAC,
∴
=
,
∴
=
,
∴点D是AB边上的黄金分割点.
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:
设△ABC中,AB边上的高为h,则S△ABC=
AB•h,S△ACD=
AD•h,S△BCD=
BD•h.
∴S△ACD:S△ABC=AD:AB,S△BCD:S△ACD=BD:AD.
由(1)知,点D是AB边上的黄金分割点,
=
,
∴S△ACD:S△ABC=S△BCD:S△ACD,
∴CD是△ABC的黄金分割线.
(3)直线不是直角梯形ABCD的黄金分割线.理由如下:
∵BC∥AD,
∴△EBG∽△EAH,△EGC∽△EHD,
∴
=
,
=
,
∴
=
,即
=
①
同理,由△BGF∽△DHF,△CGF∽△AHF得:
=
,即
=
②
由①、②得:
=
,
∴AH=HD,
∴BG=GC.
∴梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等,高也相等,
∴S梯形ABGH=S梯形GCDH=
S梯形ABCD.
∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线.
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB=72°.
∵CD是角平分线,
∴∠ACD=∠BCD=36°,
∴∠A=∠ACD,
∴AD=CD.
∵∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°,
∴∠CDB=∠B,
∴BC=CD.
∴BC=AD.
在△BCD与△BCA中,∠B=∠B,∠BCD=∠A=36°,
∴△BCD∽△BAC,
∴
BC |
AB |
BD |
BC |
∴
AD |
AB |
BD |
AD |
∴点D是AB边上的黄金分割点.
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:
设△ABC中,AB边上的高为h,则S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S△ACD:S△ABC=AD:AB,S△BCD:S△ACD=BD:AD.
由(1)知,点D是AB边上的黄金分割点,
AD |
AB |
BD |
AD |
∴S△ACD:S△ABC=S△BCD:S△ACD,
∴CD是△ABC的黄金分割线.
(3)直线不是直角梯形ABCD的黄金分割线.理由如下:
∵BC∥AD,
∴△EBG∽△EAH,△EGC∽△EHD,
∴
BG |
AH |
EG |
EH |
GC |
HD |
EG |
EH |
∴
BG |
AH |
GC |
HD |
BG |
GC |
AH |
HD |
同理,由△BGF∽△DHF,△CGF∽△AHF得:
BG |
HD |
GC |
AH |
BG |
GC |
HD |
AH |
由①、②得:
AH |
HD |
HD |
AH |
∴AH=HD,
∴BG=GC.
∴梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等,高也相等,
∴S梯形ABGH=S梯形GCDH=
1 |
2 |
∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线.
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