（2014•诸暨市模拟）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，AD=3，BC=2，AB=3，E、F为AD上的两个三等分点，G、H分别为线段AB，BC的中点，将△ABE沿直线BE翻折成△A1BE，使平面A1BE⊥平面BCDE．

Question

（2014•诸暨市模拟）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，AD=3，BC=2，AB=√(3)，E、F为AD上的两个三等分点，G、H分别为线段AB，BC的中点，将△ABE沿直线BE翻折成△A₁BE，使平面A₁BE⊥平面BCDE．
（1）求证：A₁D∥平面FGH；
（2）直线A₁D与平面A₁BE所成角；
（3）过点A₁作平面α与线段BC交于点J，使得平面α垂直于BC，求CJ的长度．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得BC=2=ED且BC∥ED，
∴四边形BCDE为平行四边形，
H、F为BC、ED的中点，设BD∩HF=O，
∴O为BD的中点，连GO，
∴G为A₁B中点，
∴OG∥A₁D
又GO⊂平面FGH，
∴A₁D∥平面FGH．
（Ⅱ）（Ⅱ）在平面BCD内过点D作DM⊥BE，交BE延长线于点M，连A₁M，
∵平面A₁BE⊥平面BCDE，且BE为两平面的交线，
∴DM⊥平面A₁BE，
∴∠DA₁M即为直线A₁D与平面A₁BE所成的二面角
在△DEM中，由DE=2，∠DEM=60°，
∴DM＝√(3)
在△A₁EM中，A₁E=1，EM=1，∠A₁EM=120°，
∴A1M＝√(3)，
∴tan∠DA1M＝(DM)/(A1M)＝(√(3))/(√(3))＝1，
∴∠DA1M＝(π)/(4)，
即直线A₁D与平面A₁BE所成的角为(π)/(4)．
（ III）过A₁作A₁K⊥BE交BE于K，
∵平面A₁BE⊥平面BCDE．
∴A₁K⊥平面BCDE，
∴BC⊥A₁K，
过K作KM⊥BC交BC于M，则BC⊥平面A₁KM，由于过A₁且与BC垂直的平面是唯一的，
∴平面A₁KM即平面α，点M即点J，
在Rt△ABE中，BK＝(3)/(2)，
∴在Rt△BKJ中，BJ＝(1)/(2)BK＝(3)/(4)，
∴CJ＝(5)/(4)．