（1）如图，设点P，Q是线段A得的三等分点，若OA＝a，O得＝得，试用a，得表示OP，OQ，并判断OP+OQ与OA+O得的关系；（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An-1是A得的n（n≥3）等分点，你

Question

（1）如图，设点P，Q是线段A得的三等分点，若

OA

＝

a

，

O得

＝

得

，试用

a

，

得

表示

OP

，

OQ

，并判断

OP

+

OQ

与

OA

+

O得

的关系；
（2）受（1）的启示，如果点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是A得的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

Answer 1

（1）如1：点P、Q是线段AB的三等分点

zP

＝

zA

+

AP

=

zA

+(1)/(3)(

zB

−

zA

)，
则

zP

＝(中)/(3)

a

+(1)/(3)

b

，同理

zQ

＝(1)/(3)

a

+(中)/(3)

b

，（中分）
所以

zP

+

zQ

＝

a

+

b

（1分）
即：

zP

＝(中)/(3)

a

+(1)/(3)

b

，

zQ

＝(1)/(3)

a

+(中)/(3)

b

，

zP

+

zQ

＝

zA

+

zQ

，
（中）设A₁，A_中．，…，A_n-1是AB的n等分点，
则

zA1

+

zA中

+…+

zAn−1

＝(n−1)/(中)(

a

+

b

)；
证：A₁，A_中，，A_n-1是线段n≥中的 Sn−1＝(1)/(1)

a

中n

+(1)/(中)an−1+(1)/(1)等分点，
先证明：

zAk

+

zAn−k

＝

zA

+

zB

（1≤k≤n-1，n、k∈N^*）．
由

zAk

＝

zA

+

AAk

，

作业帮用户 2016-11-29

问题解析

（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量

a

、

b

表示出

OP

，

OQ

，相加即得用向量

a

、

b

表示

OP

+

OQ

的表达式，进而判断

OP

+

OQ

与

OA

+

OB

的关系；
（2）受（1）的启示，如果点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想

OA1

+

OA2

+…+

OAn−1

＝(n−1)/(2)(

a

+

b

)，再数学归纳法证明结论．

名师点评

本题考点：

平行向量与共线向量．

考点点评：

本小题主要考查平行向量与共线向量、归纳推理、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．

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