若双曲线x2-y2=a2（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点.若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=mα（m＞1），那么α的值是（）A.π2m−1B.π2mC.π2m+1D.π2m+2

Question

若双曲线x²-y²=a²（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点.若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=mα（m＞1），那么α的值是（　　）
A. (π)/(2m−1)
B. (π)/(2m)
C. (π)/(2m+1)
D. (π)/(2m+2)

Answer 1

∵双曲线方程为x²-y²=a²，即(x2)/(a2)−(y2)/(a2)＝1（a＞0）
∴双曲线的左顶点为A（-a，0），右顶点为B（a，0）
设P（m，n），得
直线PA的斜率为K_PA=(n)/(m+a)；直线PB的斜率为K_PB=(n)/(m−a)
∴K_PA•K_PB=(n2)/(m2−a2)…（1）
∵P（m，n）是双曲线x²-y²=a²上的点
∴m²-n²=a²，得n²=m²-a²，代入（1）式得K_PA•K_PB=1
∵直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，得tanα=K_PA，tanβ=K_PB，
∴tanα•tanβ=1，
∵P是第一象限内双曲线上的点，得α、β均为锐角
∴α+β=（m+1）α=(π)/(2)，解之得α=(π)/(2m+2)
故选：D