已知抛物线y=ax的二次方-bx+c与y轴交与点A（0,3）,与x轴分别交与B(1,0),C(5,0)两点.（1)求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式（3）若一个动点P自OA的中点M出

Question

已知抛物线y=ax的二次方-bx+c与y轴交与点A（0,3）,与x轴分别交与B(1,0),C(5,0)两点.
（1)求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式
（3）若一个动点P自OA的中点M出发,先到达X轴上的某点（设为点E）,再到达抛物线的对称轴上的某一点（设为点F）,最后运动到点A,求使点p运动的总路径最短的点E,点F的坐标,并求出这个最短总路径的长.

Answer 1

（1）把点A、点B、点C分别代入y=ax的二次方-bx+c,可以求得a=3/5,b=18/5,c=3
所以抛物线的解析式为y=3/5x的二次方-18/5x+3
（2）OA=3,所以点D为（0,1）或者点D=（0,2）
设直线DC的解析式为y=kx+b
把点D（0,1）和点C（5,0）代入得y=-1/5x+1
把点D（0,2）和点C（5,0）代入得y=-2/5x+2
所以直线DC的解析式为y=-1/5x+1或者y=-2/5x+2
（3）由题意可得M为（0,3/2）
要使点P运动的总路径最短,则点E与点F重合,即为抛物线的对称轴与x轴的交点.
由抛物线y=3/5x的二次方-18/5x+3,可得对称轴为x=3
则点E为（3,0）,点F与点E重合.
根据勾股定理,可求得ME=3√5/2,AE=3√2
所以这个最短总路径的长=ME+AE=3√5/2+3√2