已知二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,其 图像顶点为D.（1）求此二次函数的解析式； （2）试问△ABD与△BCO是否相似,并证明你的结论； （3）若点P是此二次

Question

已知二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,其 图像顶点为D.（1）求此二次函数的解析式； （2）试问△ABD与△BCO是否相似,并证明你的结论； （3）若点P是此二次函数图像上的点,且∠PAB=∠ACB,试求点P的坐标

Answer 1

二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),
有：1*3=3/a,a=1,1+3= -b/a,b=-4；故：
（1）此二次函数的解析式y=x²-4x+3；
x=0时y=3,交y轴于点C,故C（0,3）；y=x²-4x+3=（x-2）²-1,其图像顶点为D（2,-1）；
（2）△ABD与△BCO相似
证明：OC=OB=3,故△BCO等腰直角三角形；
由A（1,0）、B（3,0）、D（2,-1）可求出AD=BD=√2,和AD²+BD²=AB²,
故△ABD等腰直角三角形；所以：）△ABD与△BCO相似.
（3）tan∠ACB
=tan（∠OCB - ∠ACO）
=（tan∠OCB - tan∠ACO）/(1 + tan∠OCB tan∠ACO)
=（1 - 1/3）/(1 + 1*1/3 )
= 1/2
令过A（1,0）的直线为y=k（x-1）,因∠PAB=∠ACB,故k=±tan∠ACB=±1/2
故：y=±（x-1）/2,分别与y=x²-4x+3联立方程组得：
x=1、x=7/2、x=5/2；
对应y=0、y=5/4、y= -3/4、因A（1,0）,
所以：P（7/2,5/4）或P（5/2,-3/4）.
祝你学习进步,更上一层楼! (*^__^*)