已知△ABC中∠ABC=90,AB=BC,点A,B分别是X轴和Y轴上的一动点(3)已知三角形abc中角abc90度AB=BC点AB分别是X轴和y轴上的一动点如图3分别以0BAB为直角边在第三第四象限作等腰直角三角形OBF和等腰

Question

已知△ABC中∠ABC=90,AB=BC,点A,B分别是X轴和Y轴上的一动点(3)已知三角形abc
中角abc 90度 AB=BC 点AB分别是X轴和y轴上的一动点 如图3 分别以0B AB为直角边在第三 第四象限作等腰直角三角形OBF和等腰直角三角形ABE EF交y轴干M 求S三角形BEM：S三角形AB0

Answer 1

（1）如图1,作CM⊥y轴于M,则CM=4,
∵∠ABC=∠AOB=90゜,
∴∠CBM+∠ABO=90°,∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠CBM=∠BAO,
在△BCM和△ABO中
∠BMC＝∠AOB∠CBM＝∠BAOBC＝AB
∴△BCM≌△ABO（AAS）,
∴OB=CM=4,
∴B（0,-4）．
（2）如图2,作CM⊥x轴于M,交AB的延长线于N,
则∠AMC=∠AMN=90°,
∵点C的纵坐标为3,
∴CM=3,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAM=∠NAM,
∴在△CAM和△NAM中
∠CAM＝∠NAMAM＝AM∠AMC＝∠AMN
∴△AMC≌△AMN（ASA）,
∴CM=MN=3,
∴CN=6,
∵CM⊥AD,∠CBA=90°,
∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°,
∵∠CDM=∠BDA,∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°,∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°,
∴∠NCB=∠BAD,
在△CBN和△ABD中
∠NCB＝∠BADBC＝AB∠CBN＝∠ABD
∴△CBN≌△ABD（ASA）,
∴AD=CN=2CM=6,
∵A（5,0）,
∴D（-1,0）．
（3）如图3,作EN⊥y轴于N,
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°,
∴∠OBA+∠NBE=90°,∠OBA+∠OAB=90°,
∴∠NBE=∠BAO,
在△ABO和△BEN中
∠AOB＝∠BNE∠BAO＝∠NBEAB＝BE
∴△ABO≌△BEN（AAS）,
∴△ABO的面积=△BEN的面积,OB=NE=BF,
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°,
∴在△BFM和△NEM中
∠FMB＝∠EMN∠FBM＝∠ENMBF＝NE
∴△BFM≌△NEM（AAS）,
∴BM=NM,
∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等,
∴S△BEN=S△BEM=12S△BEN=12S△ABO,
即S△BEM：S△ABO=1：2．