经过点M（2,1）作直线L,交椭圆x^2/16+y^2/4=1于A、B两点.如果M恰好为线段AB的三等分点,求直线L的方程.（用参数方程解答）

Question

经过点M（2,1）作直线L,交椭圆x^2/16 + y^2/4 = 1 于A、B两点.如果M恰好为线段AB的三等分点,求直线L的方程.（用参数方程解答）

Answer 1

消参（平方相加）得：x^2+y^2=25
∴r=5
作为直线x=tcosθ
y=tsinθ 的参数应为t
消参得 xtanθ-y=0
作为圆 x=4+2cosα
y=2sinα 的参数应为α
消参得 (x-4)^2+y^2=4
∴此圆圆心为C（4,0）,半径为r=2
∵直线与圆相切
∴圆心到直线的距离等于半径
即 (4|tanθ|)/√[1+(tanθ)^2]=2
即 2|tanθ|=√[1+(tanθ)^2]
平方计算得：tanθ=±√3/3
∴θ=nπ±π/6 (n∈z)
(1)θ为参数
方程变为:x/[e^t+e^(-t)]=(1/2)cosθ
y/[e^t-e^(-t)]=(1/2)sinθ
平方相加得：(x^2)/[e^t+e(-t)]^2+(y^2)/[e^t-e^(-t)]^2=1/4
(2)t为参数
方程变为：x/cosθ=(1/2)[e^t+e^(-t)]
y/sinθ=(1/2)[e^t-e^(-t)]
平方相减得：(x^2)/(cosθ)^2-(y^2)/(sinθ)^2=1
过点P（√10/2,0）且倾斜角为α的直线的参数方程为：
x=√10/2+tcosα
y=tsinα (t为参数）
代入曲线x^2+12y^2=1 ,并整理得：
[12(sinα)^2+(cosα)^2]·t^2+[(√10)cosα]t+3/2=0
根据直线的参数方程中的t的几何意义：PM=t1
PN=t2
∴|PM|·|PN|=|t1·t2|=（3/2）/ [12(sinα)^2+(cosα)^2]
=3/[22(sinα)^2+2]
∵直线和曲线有两个交点
∴△≥0
即 [(√10)cosα)]^2-4·(3/2)·[12(sinα)^2+(cosα)^2]≥0
解得 （sinα)^2≤1/19
∵α是直线的倾斜角,∴sinα≥0
取0≤sinα≤19/(√19)
注意：题目是否有点问题?
α是变量,不能求出具体值,只能求出它的取值范围.