（2010•澄海区模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=22，BC=6，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与腰CD（或CD的延长线）交于点F．设BE=x，CF

Question

（2010•澄海区模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=2√(2)，BC=6，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与腰CD（或CD的延长线）交于点F．设BE=x，CF=y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为何值时，y取得最大值，并求出该最大值；
（3）若△ABE为等腰三角形，求CF的长．

Answer 1

（1）由题意得∠B=∠C，∠AEB=180°-∠AEF-∠FEC=180°-45°=∠EFC．
∴△ABE∽△EFC，可得(AB)/(EC)=(BE)/(FC)=(2√(2))/(6−X)=(x)/(y)，
故可得y＝(6x−x2)/(2√(2))（0≤x≤6）；

（2）由（1）得y＝(−(x−3)2+9)/(2√(2))，
∴当x=3时，y取得最大值(9)/(2√(2))=(9√(2))/(4)．

（3）△ABE为等腰三角形有两种情况，AB=AE或AE=BE或AB=BE
①当AB=AE时BE=4，代入（1）的关系式可得y＝2√(2)，
②当AE=BE时BE=2，代入关系式可得y＝2

作业帮用户 2016-11-23

问题解析

（1）由题意得∠B=∠C，再求得∠AEB=∠EFC，可得出△ABE∽△EFC，从而得出y与x的函数关系式y＝(6x−x2)/(2√(2))，又E再BC上运动可得（0≤x≤6）；
（2）根据（1）的二次函数的关系式可求y的最大值；
（3）△ABE为等腰三角形有两种情况，AB=AE或AE=BE①当AB=AE时BE=4，代入（1）的关系式可得y＝2√(2)②当AE=BE时BE=2代入关系式可得y＝2√(2)．③当AB=BE时也可求出CF的长．

名师点评

本题考点：

等腰梯形的性质；等腰三角形的性质．

考点点评：

本题属有难度的题，关键在于观察x与y的关系怎样建立，得出x与y的关系后就简单了．

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