已知△ABC是斜三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinA=3acosC，c=21且sinC+sin（B-A）=5sin2A，则△ABC的面积为．

Question

已知△ABC是斜三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinA= √(3)acosC，c= √(21)且sinC+sin（B-A）=5sin2A，则△ABC的面积为___．

Answer 1

∵csinA=√(3)acosC，由正弦定理可得sinCsinA=√(3)sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴sinC=√(3)cosC，
得tanC=(sinC)/(cosC)=√(3)，
∵C∈（0，π），
∴C=(π)/(3)．
又∵sinC+sin（B-A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），
∴sin（A+B）+sin（B-A）=5sin2A，
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，
∵△ABC为斜三角形，
∴cosA≠0，
∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，（1）
∵由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴21=a²+b²-2ab×(1)/(2)，（2）
由（1）（2）解得a=5，b=1，
∴S_△ABC=(1)/(2)absinC=(1)/(2)×1×5×(√(3))/(2)=(5√(3))/(4)．
故答案为：(5√(3))/(4)．