1.已知方程x^2-（bcosA)x+acosB=0的两根之和等于两根之积,且a,b为△ABC的两边,AB为边a,b的对角,试判断△ABC的形状?2.在△ABC中,求证a^2+b^2/c^2=sin^2A+sin^2B/sin^2C.3.在△ABC中,若a^4+b^4+c^4=2c^2(a^2+b^2),求c.4.在

Question

1.已知方程x^2-（bcosA)x+acosB=0的两根之和等于两根之积,且a,b为△ABC的两边,AB为边a,b的对角,试判断△ABC的形状?2.在△ABC中,求证a^2+b^2/c^2=sin^2A+sin^2B/sin^2C.3.在△ABC中,若a^4+b^4+c^4=2c^2(a^2+b^2),求c.4.在△ABC中,求证：a^2+b^2+c^2=2(bccosA+accosB+abcosC)

Answer 1

1.
由根与系数关系,两根之和=bcosA,两根之积=acosB,二者相等：bcos=acosB
==> a/b=cosB/cosA,而由正弦定理：a/sinA=b/sinB ==> a/b=sinA/sinB
因此：sinA/sinB=cosB/cosA ==> sinAcosA=sinBcosB ==>sin2A=sin2B ==> sin2A-sin2B=0,sin2A-sin2B=2[cos(2A+2B)/2]sin[(2A-2B)/2]=2cos(A+B)sin(A-B) ==> cos(A+B)sin(A-B)=0 ==> cos(A+B)=0或sin(A-B)=0 ==> A+B=π/2,或A-B=0即A=B ==> △ABC是直角或等腰三角形.
2.
你的a^2+b^2/c^2=sin^2A+sin^2B/sin^2C应该是指：(a^2+b^2)/c^2=[(sinA)^2+(sinB)^2]/(sinC)^2吧,是的话证明如下：
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC,设它们都等于K：a/sinA=b/sinB=c/sinC=K,则：a=KsinA,b=KsinB,c=KsinC
(a^2+b^2)/c^2
=[K^2(sinA)^2+K^2(sinB)^2]/K^2(sinC)^2
=K^2[(sinA)^2+(sinB)^2]/K^2(sinC)^2
=[(sinA)^2+(sinB)^2]/(sinC)^2
3.
因为a^4+b^4+c^4=2c^2(a^2+b^2),所以：
[c^2-(a^2+b^2)]^2
=c^4-2c^2(a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2
=c^4-(a^4+b^4+c^4)+a^4+2a^2b^2+b^4
=(a^4+b^4+c^4)-(a^4+b^4+c^4)+2a^2b^2
=2a^2b^2
=(√2ab)^2
两边开方得：
c^2-(a^2+b^2)=±√2ab ==> c^2=a^2+b^2±√2ab
因此：c=√(a^2+b^2±√2ab)=√(a^2±√2ab+b^2)
也可表示为：c=√(a^2+√2ab+b^2),或c=√(a^2-√2ab+b^2)
（√2表示根号二,√()表示对括号里的代数式开根号）
4.
余弦定理：
b^2+c^2-2bccosA=a^2 ………………………………（1）
c^2+a^2-2cacosB=b^2 ………………………………（2）
a^2+b^2-2abcosC=c^2 ………………………………（3）
（1）+（2）+（3）得：
b^2+c^2-2bccosA+c^2+a^2-2cacosB+a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2+c^2
移项化简：
b^2+c^2+c^2+a^2+a^2+b^2-(a^2+b^2+c^2)=2bccosA+2cacosB+2abcosC
2(b^2+c^2+a^2)-(a^2+b^2+c^2)=2(bccosA+cacosB+abcosC)
即：a^2+b^2+c^2=2(bccosA+cacosB+abcosC)