如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；（2）求证：∠BOD=∠COE．

Question

如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；
（2）求证：∠BOD=∠COE．

Answer 1

（1）∵AD、BM、CN分别是△ABC的三个内角的角平分线，
∴∠ABO=(1)/(2)∠ABC，∠BCO=(1)/(2)∠ACB，∠CAO=(1)/(2)∠CAB．
又∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO=(1)/(2)（∠ABC+∠ACB+∠CAB）=(1)/(2)×180°=90°；

（2）证明：∵∠BOD=∠BAO+∠ABO，∠BAO=∠CAO，
∴∠BOD=∠CAO+∠ABO=(1)/(2)（∠BAC+∠ABC）=(1)/(2)（180°-∠ACB）=90°-(1)/(2)∠ACB=90°-∠BCO．
又∵OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠COE=90°-∠ECO．
∴∠BOD=∠COE．