在三角形ABC中,D是BC中点,已知角BAD+角C=90度,判断三角形的形状

Question

在三角形ABC中,D是BC中点,已知角BAD+角C=90度,判断三角形的形状

Answer 1

作三角形ABC外接圆,延长AD交圆于E
那么有:角C=角E
即:角E+角BAD=90.
=〉AE为外接圆直径
=〉三角形ABC外心在AE上 .(即圆心在BC的垂直平分线上.)
又AD是三角形ABC的中线,即:重心在中线AE上
所以有二种情况:
(1)AD垂直平分BC,=〉三角形ABC是等腰三角形
(2)圆心就是D点,则角BAC=90度,则三角形ABC是直角三角形.
以下用三角函数证明:
角B+角C+角BAD+角CAD=三角形ABC的内角和=180度.
而:角BAD+角C=90度
则:角B+角CAD=90度
在三角形ABD中有正弦定理得:
BD/sin角BAD=AD/sin角B
即:BD/AD=sin角BAD/sin角B
在三角形ACD中有正弦定理得:
CD/sin角CAD=AD/角C
即:CD/AD=sin角CAD/sin角C
因BD=CD得:
sin角BAD/sin角B=sin角CAD/sin角C
sin(90度-角C)/sin角B=sin(90度-角B)/sin角C
cos角C/sin角B=cos角B/sin角C
即:
sinB*cosB=sinC*cosC
[sin(2B)]/2=[sin(2C)]/2
因B和C都是0到180度之间得:
2B=2C或2B+2C=180度
即B=C或B+C=90度
因此三角形ABC为等腰三角形(AB,AC为腰)或直角三角形(角A为直角)