已知集合A={x|x=m+n*根号2,m,n∈Z}（1）求证任何整数都是A中的元素：（2）设X1,X2∈A,求证X1*X2∈A一个个步骤来,因为是刚学,知识不是很扎实,所以请一个个步骤讲解,还有一题..用列举法表示下列集

Question

已知集合A={x|x=m+n*根号2,m,n∈Z}
（1）求证任何整数都是A中的元素：
（2）设X1,X2∈A,求证X1*X2∈A
一个个步骤来,因为是刚学,知识不是很扎实,所以请一个个步骤讲解,
还有一题..
用列举法表示下列集合
（2）B={y=-x²+8,x∈N,y∈N}
这个也请解释,不单单只是答案,

Answer 1

（1)当n=0时,A={x|x=m+n*根号2,m,n∈Z}为A={x|x=m,m∈Z}因为m是任何整数,所以任何整数都是A中的元素.
（2）设X1=m1+n2*根号2,X2=m2+n2*根号2
X1*X2=(m1+n2*根号2)*(m2+n2*根号2)=(m1*m2+2n1*n2)+根号2*（m1*n2+m2*n1)满足m+n*根号2的形式,所以得证.（本题注重的是换元的思想）
第二题：
当x=0时,y=8,满足条件,当x=正负1时,y=7满足条件,当x=正负2时,y=4;当x=正负3时,y=-1,不满足y∈N,所以x不能等于正负3.
所以B={8,7,4}