求一道不定方程求X^Y+1=Z的所有质数解.

Question

求一道不定方程
求 X^Y + 1 = Z 的所有质数解.

Answer 1

若Z=2,则X^Y=1,由于质数除2外都为奇数,所以X^Y=1不成立
所以Z只能为奇质数,Z－1为偶数,所以X只能为2
又因为当Y为大于或等于3的奇数时,有：
2^Y+1=(2+1)[2^(Y-1)-2^(Y-2)+2^(Y-3)-…+1]
此时Z为3的倍数,Z不为质数
又因为Y为质数且不为大于或等于3的奇数,所以Y只能为2,Z＝5
所以不定方程X^Y + 1 = Z的所有质数解为X=2,Y=2,Z=5