关于常系数线性微分方程组的expAt的唯一性在矩阵论的理论中,计算一个矩阵的e指A次幂,得到的结果expA为一个唯一矩阵,但是在解决线性定常微分方程组x'=Ax+b对应的齐次方程的实基础解系（齐

Question

关于常系数线性微分方程组的expAt的唯一性
在矩阵论的理论中,计算一个矩阵的e指A次幂,得到的结果expA为一个唯一矩阵,但是在解决线性定常微分方程组x'=Ax+b对应的齐次方程的实基础解系（齐次基解矩阵）的时候,我使用海里哈密尔顿定理,约当标准型解法,拉普拉斯变换法和解空间分解法来运算,结果会经常得到不完全相同的结果.例如有可能用空间分解法得到结果是拉普拉斯变换方法解结果的某种线性组合,具体是什么原因导致的这种差异?或者是由于我计算方法上有错误?在数学角度上是否有方法对这种差异进行分析?
我的分析是可能由于矩阵论的那个结论A是一个固定矩阵,而微分方程组里的A是允许做行变换的.那么如果方程x'=Ax+b中的A做行变换,对应的b向量是否也要做变换才能保证同一初始条件下的特解完全相同?这种行变换是否会改变A的特征值?如果改变的话,是否有一种变换可以在不改变特征值的前提下改变A的结构?expAt如果做了某种线性变换,是否对于x'=Ax+b本身的特性造成影响（我已经验证发现对于通解没有影响）?
最后一个问题,如何在实际问题中考虑这种expAt的线性变换（我是自动化学科的）?
我要得到的结论并非与基础解系有关,而是和实基础解系有关.方程其次实通解为：expAt行向量所张成的一个欧氏空间,expAt可由任意一个通解乘以该通解的t=0的逆矩阵求得,也可以由其他方法求得,但是矩阵论中expA的运算结果是唯一的,而我通过不同方法求得的expAt却是expAt的某种行变换.对于求方程的实数域通解没有影响,但是对于工程算法方面却有很大影响,所以我最关心的结论是这种不一致是何种原因造成的.

Answer 1

x'=Ax+b,即然你说是齐次的,那就是b=0了
这个方程组的基础解系是一个有限维的现性空间.
所以线性代数那一套线性空间理论,完全适用于这里的分析.
一个n维线性空间的基,形式上可以不同的.
任意n个线性无关的向量都可以成为这个空间的基.
你用不同方法解,只是找到了不同的基而已.
但他们张成的空间是同一个,这就够了.
这个在线性代数里有解释.如果你觉得线代的内容不够用,可以去看看高等代数线性空间的解释.
那个更详细,也更抽象.