有关圆与椭圆交点的矛盾圆的方程为(x-2)^2+y^2=5椭圆的方程为x^2/4+y^2=1二式联立得(x-2)^2-x^2/4=4即3x^2-16x=0由韦达定理得x1+x2=16/3即圆与椭圆的交点的横坐标之和为16/3显然与图象不符那为什么这里

Question

有关圆与椭圆交点的矛盾
圆的方程为(x-2)^2+y^2=5
椭圆的方程为x^2/4+y^2=1
二式联立得
(x-2)^2-x^2/4=4
即
3x^2-16x=0
由韦达定理得
x1+x2=16/3
即
圆与椭圆的交点的横坐标之和为16/3
显然与图象不符
那为什么这里不能用韦达定理呢
为什么不能用韦达定理表示交点的横坐标
为什么会出现x=16/3这个不符事实的根呢

Answer 1

这里的x1、x2不是交点横坐标.
按照3x^2-16x=0解出来的两解x1=0,x2=16/3
x1=0,可得y=±1,这就是两个交点了.(0,1)、(0,-1)
x2=16/3,把它代入椭圆中时,得y²＜0,舍去.
韦达定理可以用,但是这里的x1x2只能表示方程3x^2-16x=0的两个根,不能表示交点横坐标.
在联立方程时,
(x-2)²+y²=5
x²/4+y²=1
通过把y²= 1- x²/4 代入到另一方程中,这里你只是把y²当成任意实数了.
假如我把上面两个方程换一下：
(x-2)²+m=5
x²/4+m=1
联立得到的仍然是：3x²-16x=0
但是上面的y²和下面的m显然是不同的,所以在联立方程时,y²＞0这个约束条件被丢了,
所以联立得到的方程并不能正确的表示交点横坐标的关系.