在第一象限内作椭球面x^2+3y^2+z^2=1的切平面π,使平面π与三坐标面所围成的四面体的体积为最小的切平面的方程和体积

Question

在第一象限内作椭球面x^2+3y^2+z^2=1的切平面π,使平面π与三坐标面所围成的四面体的体积为最小的切平面的方程和体积

Answer 1

椭球面方程为 F(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2-1=0
F'x=2x,F'y=6y,F'z=2z
设切点为M(x0,y0,z0),则切平面π方程为
F'x(x0,y0,z0)*(x-x0)+F'y(x0,y0,z0)*(y-y0)+F'z(x0,y0,z0)*(z-z0)=0
即 2x0(x-x0)+6y0(y-y0)+2z0(z-z0)=0
即 x0x+3y0y+z0z=x0^2+3y0^2+z0^2 (1)
又切点M(x0,y0,z0)在椭球面上,故有
x0^2+3y0^2+z0^2=1 (2)
将(2)代入(1),可得
x0x+3y0y+z0z=1
求切平面与坐标轴的交点
令x=y=0,可得z1=1/z0
令y=z=0,可得x1=1/x0
令z=x=0,可得y1=1/(3y0)
四面体体积为
V=1/3*x1*y1*z1
=1/3*1/(x0*3y0*z0)
=1/(3√3)*1/(x0*√3y0*z0)
≥1/(3√3)*1/[(x0^2+3y0^2+z0^2)/3]^(3/2)
=1/(3√3)*1/[1/3]^(3/2)
=1
等号仅当x0=√3y0=z0时成立
将此等式代入(2)可解得
x0=1/√3, y0=1/3, z0=1/√3
∴切平面方程为 x+√3y+z-√3=0
切平面与三坐标平面所围成的四面体最小体积为1