如图,O为坐标原点,点A,B,C均在⊙O上,点A在第一象限,点C（1,0）,设∠COA=θ（1）若A(3/5,4/5),求sin2θ的值（2）若△AOB为等边三角形,点B的坐标为(xb,yb),求xb-yb的最小值及取得最小值时的相应的θ值

Question

如图,O为坐标原点,点A,B,C均在⊙O上,点A在第一象限,点C（1,0）,设∠COA=θ
（1）若A(3/5,4/5),求sin2θ的值

（2）若△AOB为等边三角形,点B的坐标为(xb,yb),求xb-yb的最小值及取得最小值时的相应的θ值

Answer 1

1）∵点C（1,0）在⊙O上,∴⊙O的半径为1.
∴当A(3/5,4/5),∠COA=θ时,sinθ=4/5,cosθ=3/5.
∴sin2θ=2 sinθ•cosθ=24/25.
2）当∠COA=θ,△AOB为等边三角形时,OB与x轴的夹角为θ±π/3.
（因为没见图,不知B在OA的哪一边,所以用了“±”号）
∵B在⊙O上,∴xb=cos(θ±π/3),yb=sin(θ±π/3).
∴xb-yb= cos(θ±π/3)-sin(θ±π/3)= √[1-2 sin(θ±π/3) cos(θ±π/3)]
=√[1- sin2(θ±π/3)]=√[1- sin(2θ±2π/3)] ≧0,∴xb-yb的最小值为0.
∵点A在第一象限,0＜θ＜π/2,∴令2θ±2π/3=π/2,得θ=π/4±π/3,
则θ1=7π/12,θ2=﹣π/12 (舍去).
∴xb-yb的最小值是0,当xb-yb=0时,θ=7π/12.