已知过点（0，4），斜率为-1的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点．O为坐标原点，|AB|=410，（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OA⊥OB．

Question

已知过点（0，4），斜率为-1的直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点．O为坐标原点，|AB|=4√(10)，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OA⊥OB．

Answer 1

（1）过点（0，4），斜率为-1的直线l的方程为y=-x+4，
联立方程组

y＝−x+4

y2＝2px

，
消去y得，x²-2（p+4）x+16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
得x₁+x₂=2（p+4），x₁x₂=16，△=4（p+2）²-64＞0．
∴|AB|=√((1+1)[4(p+4)2−4×16])=4√(10)，
解得p=2．
∴抛物线的解析式为y²=4x．
（2）证明：由（1）知，x₁+x₂=2（p+4）=12，x₁x₂=16，
∴y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB．