求高手帮我解一下这个常微分方程!my''+ky'+mg=0,其中y(0)=0,y'(0)=v,还有忘记补充了y''表示y对时间t的二阶导数，m、k、g分别表示质量、比例系数、重力加速度，v为物体运动的初速度，这些量均为

Question

求高手帮我解一下这个常微分方程!my''+ky'+mg=0,其中y(0)=0,y'(0)=v,
还有忘记补充了y''表示y对时间t的二阶导数，m、k、g分别表示质量、比例系数、重力加速度，v为物体运动的初速度，这些量均为常数。

Answer 1

my"+ky'=-mg
特征方程为：mλ^2+kλ=0,得：λ=0,-k/m
因此y1=c1+c2e^(-kt/m)
设特解y*=at+b,代入方程得：ka=-mg,得：a=-mg/k
所以y=y1+y*=c2e^(-kt/m)-mgt/k+c
代入y(0)=c2+c=0
y'=-k/m*c2e^(-kt/m)-mg/k,y'(0)=-k/m*c2-mg/k=v
解得：c2=-(mg/k+v)m/k,c=-c2=(mg/k+v)m/k
所以解为y=-(mg/k+v)m/ke^(-kt/m)-mgt/k+(mg/k+v)m/k