（本小题满分12分）在锐角△ABC中，分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且（1）确定∠C的大小；（2）若c＝，求△ABC周长的取值范围．

Question

（本小题满分12分）在锐角△ABC中， 分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且

（1）确定∠C的大小；

（2）若c＝ ，求△ABC周长的取值范围．

 

Answer 1

（1）或;（2）.

分 析：
（1）利用正弦定理，将边角关系转化为角角关系进行求解；（2）利用正弦定理用角A的三角函数表示，利用三角函数的图像与性质进行求解.解题思路: 解三角形问题，要灵活选用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和内角和定理进行求解，还往往与两角和的三角公式相联系.试题
解析：
（1）已知a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，由a＝2csinA，得sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，则sinC=，∴∠C=60°或∠C=120° ∵△ABC为锐角三角形，∴∠C=120°舍去。∴∠C=60°（2）∵c=，sinC=∴由正弦定理得： 即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，即B=-A，∴a+b+c=2（sinA+sinB）+=2[sinA+sin（-A）]+ =2（sinA+sincosA-cossinA）+=3sinA+cosA+=2（sinAcos+cosAsin）+=2sin（A+）+，∵△ABC是锐角三角形，∴＜∠A＜，∴＜sin（A+）≤1，则△ABC周长的取值范围是（3+，3].
考点：
1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角函数的图像与性质.