若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y-4ex）（lny-lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是．

Question

若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y-4ex）（lny-lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

由3x+a（2y-4ex）（lny-lnx）=0得3x+2a（y-2ex）ln(y)/(x)=0，
即3+2a（(y)/(x)-2e）ln(y)/(x)=0，
即设t=(y)/(x)，则t>0，
则条件等价为3+2a（t-2e）lnt=0，
即（t-2e）lnt=-(3)/(2a)有解，
设g（t）=（t-2e）lnt，
g′（t）=lnt+1-(2e)/(t)为增函数，
∵g′（e）=lne+1-(2e)/(e)=1+1-2=0，
∴当t>e时，g′（t）>0，
当0<t<e时，g′（t）<0，
即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e-2e）lne=-e，
即g（t）≥g（e）=-e，
若（t-2e）lnt=-(3)/(2a)有解，
则-(3)/(2a)≥-e，即(3)/(2a)≤e，
则a<0或a≥(3)/(2a)，
故实数a的取值范围是(-∞，0)∪[(3)/(2e)，+∞)．
故答案为：(-∞，0)∪[(3)/(2e)，+∞)．