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已知函数f(x)=-x^2-2x,g(x)=x+1/4x(x>0)g(x)=x+1(x≤0),若方程g[f(x)]-a=0的实数根个数有4个,求a取值范围.请问(x>0)的范围和(x答案上说根据题意得出a>=1是怎么看出来的?5/4)
题目详情
已知函数f(x)=-x^2-2x,g(x)=x+ 1/4x (x>0) g(x)=x+1(x≤0),若方程g[f(x)]-a=0的实数根个数有4个,求a取值范围.请问(x>0)的范围和(x
答案上说根据题意得出a>=1是怎么看出来的?5/4)
答案上说根据题意得出a>=1是怎么看出来的?5/4)
▼优质解答
答案和解析
显然f(x)=-x^2-2x为二次函数
其对称轴为x=-1,开口向下
令-x^2-2x=0,则x=0或x=-2
即x=0和x=-2为抛物线与x轴的交点(零点)
易知当-20
且知当x≤-2或x≥0时,f(x)≤0
因g[f(x)]由g(x与f(x)复合而成,令G(x)=g[f(x)]
当f(x)>0时,G(x)=f(x)+1/[4f(x)]=-x^2-2x-1/(4x^2+8x)(注意-2当f(x)≤0时,G(x)=f(x)+1=-x^2-2x+1(注意x≤-2或x≥0)
显然G(x)也是一个分段函数
易知当x≤-2或x≥0时,G(x)为开口向下的抛物线的两侧部分,呈“内八字型”
显然G(x)max=G(-2)=G(0)=1
而当-2令G(x)=g[f(x)]=-x^2-2x-1/(4x^2+8x)(注意-2易知G'(x)=-2(x+1)+(x+1)/[2(x^2+2x)^2]
令G'(x)=0,解得x=-1,或x=-1-√2/2,或x=-1+√2/2(注意-2当-2当-1-√2/20,表明G(x)递增
当-1当-1+√2/20,表明G(x)递增
显然x=-1-√2/2和x=-1+√2/2为G(x)的两个极小值点
注意到G(-1-√2/2)=G(-1+√2/2)=1
而x=-1为G(x)的一个极大值点
注意到G(-1)=5/4
另外,当x→-2或x→0时,G(x)→+∞
表明x=-2和x=0为G(x)的两条垂直渐近线
由此可以大致判断出G(x)在-2
因方程g[f(x)]-a=0的实数根个数有4个
即方程g[f(x)]=a的实数根个数有4个
即函数G(x)图象与水平直线y=a有4个交点
根据上述G(x)的图象分析易知1≤a<5/4
注意当a=1时,水平直线y=a与“W”和“八”型图象各有两个交点
其对称轴为x=-1,开口向下
令-x^2-2x=0,则x=0或x=-2
即x=0和x=-2为抛物线与x轴的交点(零点)
易知当-2
且知当x≤-2或x≥0时,f(x)≤0
因g[f(x)]由g(x与f(x)复合而成,令G(x)=g[f(x)]
当f(x)>0时,G(x)=f(x)+1/[4f(x)]=-x^2-2x-1/(4x^2+8x)(注意-2
显然G(x)也是一个分段函数
易知当x≤-2或x≥0时,G(x)为开口向下的抛物线的两侧部分,呈“内八字型”
显然G(x)max=G(-2)=G(0)=1
而当-2
令G'(x)=0,解得x=-1,或x=-1-√2/2,或x=-1+√2/2(注意-2
当-1
显然x=-1-√2/2和x=-1+√2/2为G(x)的两个极小值点
注意到G(-1-√2/2)=G(-1+√2/2)=1
而x=-1为G(x)的一个极大值点
注意到G(-1)=5/4
另外,当x→-2或x→0时,G(x)→+∞
表明x=-2和x=0为G(x)的两条垂直渐近线
由此可以大致判断出G(x)在-2
因方程g[f(x)]-a=0的实数根个数有4个
即方程g[f(x)]=a的实数根个数有4个
即函数G(x)图象与水平直线y=a有4个交点
根据上述G(x)的图象分析易知1≤a<5/4
注意当a=1时,水平直线y=a与“W”和“八”型图象各有两个交点
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