已知函数f（x）=xetx-ex+1，其中t∈R，e是自然对数的底数．（Ⅰ）若方程f（x）=1无实数根，求实数t的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）内为减函数，求实数t的取值范围．

Question

已知函数f（x）=xe^tx-e^x+1，其中t∈R，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）若方程f（x）=1无实数根，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）内为减函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=1，可得x=e^x（1-t）>0，
∴原方程无负实数根，
故有(lnx)/(x)=1-t．
令g（x）=(lnx)/(x)，则g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
∴0<x<e，g′（x）>0；x>e，f′（x）<0，
∴函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴函数g（x）的最大值为g（e）=(1)/(e)，
∴函数g（x）的值域为（-∞，(1)/(e)]；
方程f（x）=1无实数根，等价于1-t∉（-∞，(1)/(e)]，
∴1-t>(1)/(e)，
∴t<1-(1)/(e)，
∴当t<1-(1)/(e)时，方程f（x）=1无实数根；
（Ⅱ）f′（x）=e^tx[1+tx-e^（1-t）x]
由题设，x>0，f′（x）≤0，
不妨取x=1，则f′（1）=e^t（1+t-e^1-t）≤0，
t≥1时，e^1-t≤1，1+t≤2，不成立，∴t<1．
①t≤(1)/(2)，x>0时，f′（x）=e^tx[1+tx-e^（1-t）x]≤e(x)/(2)（1+(x)/(2)-e(x)/(2)），
由（Ⅰ）知，x-e^x+1<0，∴1+(x)/(2)-e(x)/(2)<0，∴f′（x）<0，
∴函数f（x）是（0，+∞）内的减函数；
②(1)/(2)<t<1，(t)/(1-t)>1，∴(1)/(1-t)ln(t)/(1-t)>0，
令h（x）=1+tx-e^（1-t）x，则h（0）=0，h′（x）=（1-t）[(t)/(1-t)-e^（1-t）x]
0<x<(1)/(1-t)ln(t)/(1-t)，h′（x）>0，
∴h（x）在（0，(1)/(1-t)ln(t)/(1-t)）上单调递增，
∴h（x）>h（0）=0，此时，f′（x）>0，
∴f（x）在（0，(1)/(1-t)ln(t)/(1-t)）上单调递增，有f（x）>f（0）=0与题设矛盾，
综上，当t≤