已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y2=4（x-1）切线，求a的值；（2）若对于任意x∈R，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值

Question

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e是自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y²=4（x-1）切线，求a的值；
（2）若对于任意x∈R，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（3）当a=-1时，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x₀的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=e^x+a，把x=1代入得：f′（1）=e+a，
把x=1代入f（x）得：f（1）=e+a，所以切点坐标为（1，e+a），
则在x=1处的切线为y-（e+a）=（e+a）（x-1）即：y=（e+a）x，
与y²=4（x-1）联立，消去得（e+a）²x²-4x+4=0，
由△=0知，a=1-e或a=-1-e；（4分）
（2）f′（x）=e^x+a，
①当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，且当x→-∞时，e^x→0，ax→-∞，
∴f（x）→-∞，故f（x）＞0不恒成立，所以a＞0不合题意；（6分）
②当a=0时，f（x）=e^x＞0对x∈R恒成立，所以a=0符合题意；
③当a＜0时令f′（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a），
当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，ln（-a））上是单调递减，在（ln（-a），+∞）上是单调递增，
所以[f（x）]_min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）＞0，
解得a＞-e，又a＜0，∴a∈（-e，0），
综上：a∈（-e，0]．（10分）
（3）当a=-1时，由（2）知[f（x）]_min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1，
设h（x）=g（x）-f（x）=e^xlnx-e^x+x，则h′(x)＝exlnx+ex•(1)/(x)−ex+1＝ex(lnx+(1)/(x)−1)+1，
假设存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，
x₀即为方程的解，（13分）
令h′（x）=1得：ex(lnx+(1)/(x)−1)＝0，因为e^x＞0，所以lnx+(1)/(x)−1＝0．
令φ(x)＝lnx+(1)/(x)−1，则φ′(x)＝(1)/(x)−(1)/(x2)＝(x−1)/(x2)，
当0＜x＜1是φ′（x）＜0，当x＞1时φ′（x）＞0，
所以φ(x)＝lnx+(1)/(x)−1在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）＞φ（1）=0，故方程ex(lnx+(1)/(x)−1)＝0有唯一解为1，
所以存在符合条件的x₀，且仅有一个x₀=1．（16分）