设直线l：x=ty+p2与抛物线C：y2=2px（p＞0，p为常数）交于不同两点A、B，点D为抛物线准线上的一点．（Ⅰ）若t=0，且三角形ABD的面积为4，求抛物线的方程；（Ⅱ）当△ABD为正三角形时，求出点

Question

设直线l：x=ty+(p)/(2)与抛物线C：y²=2px（p＞0，p为常数）交于不同两点A、B，点D为抛物线准线上的一点．
（Ⅰ）若t=0，且三角形ABD的面积为4，求抛物线的方程；
（Ⅱ）当△ABD为正三角形时，求出点D的坐标．

Answer 1

（I）直线x=ty+(p)/(2)过焦点F（(p)/(2)，0）
t=0时，不妨设A（(p)/(2)，p），B（(p)/(2)，-p），则|AB|=2p，
又D点到直线l的距离d=p，
因为三角形ABD的面积为4，
所以(1)/(2)•2p•p=4，
所以p=2
所以抛物线的方程为y²=4x    …（4分）
（II）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），D（-(p)/(2)，m），则
直线l：x=ty+(p)/(2)与抛物线C：y²=2px联立可得y²-2pty-p²=0．
则y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-p²，
从而x₁+x₂=2pt²+p
所以线段AB的中点为M（pt²+(p)/(2)，pt）           …（6分）
由DM⊥AB得(pt−m)/(pt2+p)＝−t，解得m=pt³+2pt
从而D（-(p)/(2)，pt³+2pt）…（10分）
|DM|=p（t²+1）√(t2+1)，|AB|=|AF|+|BF|=2p（t²+1）
由|DM|=(√(3))/(2)|AB|得到p（t²+1）√(t2+1)=(√(3))/(2)×2p（t²+1），…（13分）
解得t=±