如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线的顶点为C（3，4），抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C′．（1）求抛物线l2的函数关系式；（2）已知原点O，定点D（0，4），l2上的点P与l

Question

如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线的顶点为C（3，4），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，顶点为C′．
（1）求抛物线l₂的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D（0，4），l₂上的点P与l₁上的点P′始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形；
（3）在l₂上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题意知点C′的坐标为（3，-4）．
设l₂的函数关系式为y=a（x-3）²-4．
又∵点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）²-4上，
∴（1-3）²a-4=0，解得a=1．
∴抛物线l₂的函数关系式为y=（x-3）²-4（或y=x²-6x+5）；

（2）∵P与P′始终关于x轴对称，
∴PP′与y轴平行．
设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m²-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
当m²-6m+5=2时，解得m=3±√(6)．
当m²-6m+5=-2时，解得m=3±√(2)．
∴当点P运动到（3-√(6)，2）或（3+√(6)，2）或（3-√(2)，-2）或（3+√(2)，-2）时，
P′P平行且等于OD，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形；

（3）满足条件的点M不存在．理由如下：
若存在满足条件的点M在l₂上，则∠AMB=90°，
∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴BM=(1)/(2)AB=(1)/(2)×4=2．
过点M作ME⊥AB于点E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴EB=(1)/(2)BM=(1)/(2)×2=1，EM=√(3)，OE=4．
∴点M的坐标为（4，-√(3)）．
但是，当x=4时，y=4²-6×4+5=16-24+5=-3≠-√(3)．
∴不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．