函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=exx（e为自然对数的底数），f（2）=e28，判断f（x）在（0，+∞）上的极值情况．

Question

函数f（x）满足x²f′（x）+2xf（x）=(ex)/(x)（e为自然对数的底数），f（2）=(e2)/(8)，判断f（x）在（0，+∞）上的极值情况．

Answer 1

∵函数f（x）满足x²f′（x）+2xf（x）=(ex)/(x)，
∴[x²f（x）]′=(ex)/(x)，
令F（x）=x²f（x），则F′（x）=(ex)/(x)，
F（2）=4•f（2）=(e2)/(2)
由x2f′（x）+2xf（x）=(ex)/(x)，得f′（x）=(ex-2F(x))/(x3)，
令φ（x）=e^x-2F（x），则φ′（x）=e^x-2F′（x）=(ex(x-2))/(x)．
∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的最小值为φ（2）=e²-2F（2）=0．
∴φ（x）≥0．
又x>0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
∴f（x）既无极大值也无极小值．