已知函数f（x）=alnx（a>0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x>0时，求证：f（x）≥a（1-1x）；（Ⅲ）在区间（1，e）上exa-e1a•x&l

Question

已知函数f（x）=alnx（a>0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x>0时，求证：f（x）≥a（1-(1)/(x)）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上e (x)/(a)-e (1)/(a)•x<0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I） f′(x)=(a)/(x)，f′(2)=(a)/(2)=2，a=4．…（2分）
（Ⅱ）令g(x)=a(lnx-1+(1)/(x))，g′(x)=a((1)/(x)-(1)/(x2))．…（4分）
令g'（x）>0，即a((1)/(x)-(1)/(x2))>0，解得x>1，
所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
所以g（x）最小值为g（1）=0，所以f(x)≥a(1-(1)/(x))．…（6分）
（Ⅲ） 由题意可知e(x)/(a)<e(1)/(a)x，化简得(x-1)/(a)<lnx，a>(x-1)/(lnx)．…（8分）
令h（x）=(x-1)/(lnx)，则h′（x）=(lnx-(x-1)•(1)/(x))/((lnx)2)，
∴h′(x)=(lnx-1+(1)/(x))/((lnx)2)．…（9分）
由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx-1+(1)/(x)>0，
∴h′（x）>0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，
∴h（x）<h（e）=e-1．…（11分），
∴a≥e-1．…（12分）