已知函数f（x）=ax-ex（其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数f（x）图象在点（0，f（0））处的切线过点（1，1），求a的值；（Ⅱ）当1≤a≤1+e时，求证：f（x）≤x．

Question

已知函数f（x）=ax-e^x（其中e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数f（x）图象在点（0，f（0））处的切线过点（1，1），求a的值；
（Ⅱ）当1≤a≤1+e时，求证：f（x）≤x．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）图象过点（0，-1），切线斜率为f′(0)＝(1−(−1))/(1−0)＝2，…（2分）
f（x）=ax-e^x⇒f′（x）=a-e^x⇒f′（0）=a-1=2，∴a=3．…（6分）
（Ⅱ）令g（x）=x-f（x），则g（x）=e^x-（a-1）x．
若a=1，则g（x）=e^x＞0，∴f（x）≤x成立．…（8分）
若1＜a≤1+e，则g'（x）=e^x-（a-1）．
∴当x＜ln（a-1）时，g′（x）＜0；当x＞ln（a-1）时，g′（x）＞0．
∴g（x）的（-∞，ln（a-1））上单调递减；在（ln（a-1），+∞）上单调递增．
∴g（x）≥g（ln（a-1））=e^ln（a-1）-（a-1）ln（a-1）=（a-1）[1-ln（a-1）]．…（11分）
又∵1＜a≤1+e⇒a-1＞0，ln（a-1）≤lne=1，
∴（a-1）[1-ln（a-1）]≥0．
∴g（x）≥0，即f（x）≤x恒成立．
综上，当1≤a≤1+e时f（x）≤x．…（14分）