已知函数f（x）=lnx−x(x＞0)ex(x2+x+a)(x≤0)，（其中a∈R，e为自然对数的底数）（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；（2）当x≤0时，若函数φ（x）=f（x）-axex存在两个相距小于23的极值点，求实数a

Question

已知函数f（x）=

lnx−x(x＞0)

ex(x2+x+a)(x≤0)

，（其中a∈R，e为自然对数的底数）
（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；
（2）当x≤0时，若函数φ（x）=f（x）-axe^x存在两个相距小于2√(3)的极值点，求实数a的取值范围；
（3）证明：∀n∈N^*，ln（n!）²＜n（n+1）．

Answer 1

（1）证明：当x＞0时，f（x）=lnx-x；f′（x）=(1)/(x)−1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
  当x=1时，f′（x）=0，当x＞1时，f′（x）＜0，
∴x=1是f（x）的最大值点，∴f（x）≤f（1）=0
（2）当x≤0时，若函数φ（x）=f（x）-axe^x=e^x[x²+（1-a）x+a]，
φ′（x）=e^x[x²+（3-a）x+1]，
设φ′（x）=0，则x²+（3-a）x+1=0，△=（3-a）²-4＞0，a＞5或a＜1①．
函数φ（x）的极值点x₁+x₂=a-3，x₁x₂=1，
|x1−x2|＝√((x1+x2)2−4x1x2)=√((a−3)2−4)≤2√(3)，
解得-1＜a＜7②．
由①②得5＜a＜7或-1＜a＜1．
（3）由（1）当x＞0时，lnx＜x；
∴ln（n!）=ln1+ln2+ln3+…lnn＜1+2+3+…n=(n(n+1))/(2)
ln（n!）²=2ln（n!）＜n（n+1），∴不等式成立．