已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1,且当x≥0时,f(x)=ex+a,其中e为自然对数的底数(1)求函数f(x)的解析已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1,且当x≥0时,f(x)=ex+a,其中e为自然对数的底数(1)求

Question

已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1,且当x≥0时,f(x)=ex+a,其中e为自然对数的底数 (1)求函数f(x)的解析
已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1,且当x≥0时,f(x)=ex+a,其中e为自然对数的底数
(1)求函数f(x)的解析式
(2)若函数F(x)=f(x)-bx2恰有两个不同的零点,求b的值
(3)当x∈〔1,3〕时,f(x+t)≤x3+3x2恒成立,求t的取值范围
谢.

Answer 1

1：f(x)=e^x+a (x>=0)
当x=0 f(-x)=e^(-x)+a
因x∈R时为偶函数
f(x)=f(-x)=e^(-x)+a (x=0) f(x)=e^(-x)+a (x=0) f(x)=e^(-x) (x0)
F'(x)=e^x-2bx=0（保证当x>0时,F(X)有且只有一个零点）
bx^2=2bx x=2,b=(e^2)/4
故：当b=(e^2)/4时,F(x)=f(x)-bx^2恰有两个不同的零点,这两个零点分别为（2,0）（-2,0）
3：f(x+t)≤x^3+3x^2 x∈〔1,3〕
e^|x+t|=0即t>=-x时,e^(x+t)0,f(x)为单调增函数
Maxf(x+t)=e^(3+t)