已知函数f（x）=（x小-小x）ekx（k∈R，e为自然对数的底数）在（-∞，-小]和[小，+∞）上递增，在[-小，小]上递减．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，m]上的最他值和最小值

Question

已知函数f（x）=（x^小-小x）e^kx（k∈R，e为自然对数的底数）在（-∞，-√(小)]和[√(小)，+∞）上递增，在[-√(小)，√(小)]上递减．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，m]上的最他值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）对函数f（x）=（x²-2x）e^kx求导，得
f′（x）=e^kx[kx²+（2-2k）x-2]．（2分）
∵函数f（x）在（-∞，-√(2)]和[√(2)，+∞）上递增，
在[-√(2)，√(2)]上递减．而e^kx＞0．
∴了（x）=kx²+（2-2k）x-2在（-∞，-√(2)）和（√(2)，+∞）上的函数值恒大于零，（3分）
了（x）=kx²+（2-2k）x-2在（√(2)-，√(2)）上函数值恒小于零．（2分）
∴不等式kx²+（2-2k）x-2＞0的解集为
（-∞，-

作业帮用户 2017-10-24

问题解析

（Ⅰ）由已知得f′（x）=e^kx[kx²+（2-2k）x-2]．g（x）=kx²+（2-2k）x-2在（-∞，-√(2)）和（√(2)，+∞）上的函数值恒大于零，由此利用导数性质韦达定理求出k=1．
（Ⅱ）根据m的取值进行分类讨论，由此利用导数性质能求出f（x）在区间[0，m]上的最小值．

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题考查实数值的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．

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