数学分析中函数单调性问题设函数f在开区间(a,b)上定义,且对每一个点x∈(a,b)存在邻域U(x),使得f在U(x)上单调增加,证明：f在(a,b)上单调增加.

Question

数学分析中函数单调性问题
设函数f在开区间(a,b)上定义,且对每一个点x∈(a,b)存在邻域U(x),使得f在U(x)上单调增加,证明：f在(a,b)上单调增加.

Answer 1

证明：
设s,t是开区间(a,b)内的任意两点,且设s＜t,下面我们来证明f(s)＜f(t)
由已知,闭区间[s,t]中的所有点的邻域覆盖了闭区间[s,t],
而有限覆盖定理告诉我们,从这无穷个邻域中可选出有个,它们就已经覆盖了这个闭区间[s,t]
设这有限个邻域分别为：
U(s),U(r1),U(r2),…,U(rn),U(t)
又设x1∈U(s)∩U(r1),x2∈U(r1)∩U(r2),…,x(n+1)∈U(rn)∩U(t)
则可以看出任何两个相邻的,比xm,x(m+1)都必同属于一个相同的邻域U(rm)
上式中的m满足,1≤m≤n
从而由已知,可得
f(s)＜f(x1)＜f(x2)＜…＜f(x(n+1))＜f(t)
这就证明了f(s)＜f(t)
证完.