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已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的
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已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t).记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t).记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)求导函数,令f′(x)>0,可得函数的递增区间;令f′(x)<0,可得单调递减区间;
(2)由(1)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在(-2,0)内恰有两个零点,由此可求a的取值范围;
(3)a=1时,f(x)=,由(1)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,再进行分类讨论:①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减,因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(-1)=-,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者,从而可得g(t)在[-3,-2]上的最小值;②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],-1,1∈[t,t+3],比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小,从而可确定函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.
【解析】
(1)求导函数可得f′(x)=(x+1)(x-a),令f′(x)=0,可得x1=-1,x2=a>0
令f′(x)>0,可得x<-1或x>a;令f′(x)<0,可得-1<x<a
故函数的递增区间为(-∞,-1),(a,+∞),单调递减区间为(-1,a,)
(2)由(1)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在(-2,0)内恰有两个零点,
∴,∴,∴0<a<
∴a的取值范围为;
(3)a=1时,f(x)=,由(1)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增
①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减
因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(-1)=-,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t)
而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)=-,所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为
②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],-1,1∈[t,t+3],下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有
f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2)
∵f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-
∴M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-
∴g(t)=M(t)-m(t)=
综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为.
(2)由(1)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在(-2,0)内恰有两个零点,由此可求a的取值范围;
(3)a=1时,f(x)=,由(1)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,再进行分类讨论:①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减,因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(-1)=-,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者,从而可得g(t)在[-3,-2]上的最小值;②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],-1,1∈[t,t+3],比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小,从而可确定函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.
【解析】
(1)求导函数可得f′(x)=(x+1)(x-a),令f′(x)=0,可得x1=-1,x2=a>0
令f′(x)>0,可得x<-1或x>a;令f′(x)<0,可得-1<x<a
故函数的递增区间为(-∞,-1),(a,+∞),单调递减区间为(-1,a,)
(2)由(1)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在(-2,0)内恰有两个零点,
∴,∴,∴0<a<
∴a的取值范围为;
(3)a=1时,f(x)=,由(1)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增
①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减
因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(-1)=-,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t)
而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)=-,所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为
②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],-1,1∈[t,t+3],下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有
f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2)
∵f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-
∴M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-
∴g(t)=M(t)-m(t)=
综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为.
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