已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)=x2-2x+2，若对任意x1∈(0，+∞)，均存在x2∈[0，1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围。

Question

已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设g(x)=x ² -2x+2，若对任意x ₁ ∈(0，+∞)，均存在x ₂ ∈[0，1]，使得f(x ₁ )＜g(x ₂ )，求a的取值范围。

Answer 1

(1) ，
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；
②当a＜0时，由f′(x)=0，得 ，在区间 上，f′(x)＞0，在区间 上，f′(x)＜0，
所以，函数f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2)由题意知，转化为 (其中x ₁ ∈(0，+∞)，x ₂ ∈[0，1])，
由(1)知，当a≥0时，f′(x ₁ )＞0，f(x ₁ )在(0，+∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意；
当a＜0时，f(x ₁ )在 上单调递增，在 上单调递减，
故f(x ₁ )的极大值即为最大值，
f（x ₁ ） _max = ，
所以 ，
解得 。