（2013•浦东新区二模）数列{an}满足an+1＝4an−2an+1（n∈N*）．①存在a1可以生成的数列{an}是常数数列；②“数列{an}中存在某一项ak＝4965”是“数列{an}为有穷数列”的充要条件；③若{an}为单

Question

（2013•浦东新区二模）数列{a_n}满足an+1＝(4an−2)/(an+1)（n∈N^*）．
①存在a₁可以生成的数列{a_n}是常数数列；
②“数列{a_n}中存在某一项ak＝(49)/(65)”是“数列{a_n}为有穷数列”的充要条件；
③若{a_n}为单调递增数列，则a₁的取值范围是（-∞，-1）∪（1，2）；
④只要a1≠(3k−2k+1)/(3k−2k)，其中k∈N^*，则

lim

n→∞

an一定存在；
其中正确命题的序号为______．

Answer 1

当a₁=1时，a_n=1恒成立，当a₁=2时，a_n=2恒成立，故①正确；
当a₁=(1)/(5)时，a₂=-1，数列{a_n}为有穷数列，但不存在某一项ak＝(49)/(65)，故②错误；
当a₁=-2时，a₁∈（-∞，-1）∪（1，2），此时a₂=10 a₃=(38)/(11)，数列不存在单调递增性，故③错误；
∵an+1＝(4an−2)/(an+1)
∴an+1−1＝(4an−2)/(an+1)−1=(3an−3)/(an+1)…①
且an+1−2＝(4an−2)/(an+1)−2=(2an−4)/(an+1)…②
①÷②得：(an+1−1)/(an+1−2)=(3)/(2)•(an−1)/(an−2)
令b_n=(an−1)/(an−2)，则数列{b_n}是以(3)/(2)为公比的等比数列
则b_n=((3)/(2))n−1•b1
∴a_n=(2•((3)/(2))n−1•b1+1)/(((3)/(2))n−1•b1−1)=2+(3)/((作业帮用户2017-11-10问题解析根据已知中数列{an}满足an+1＝(4an−2)/(an+1)（n∈N*）．举出正例a1=1或a1=2，可判断①；举出反例a1=(1)/(5)，可判断②；举出反例a1=-2，可判断③；构造数列bn=(an−1)/(an−2)，结合已知可证得数列{bn}是以(3)/(2)为公比的等比数列，进而可判断④．名师点评本题考点：命题的真假判断与应用．考点点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)