我们把分数分子是1,分母是正整数的分数叫做分数单位.任何一个单位分数1/n=1/p+1/q(n,p,q都是正整数）显然,这里的p,q都大于n.如果设p=n+a,q=n+b（a,b都是正整数）,那么有1/n=1/n+a+1/n+b.（1）探索上

Question

我们把分数分子是1,分母是正整数的分数叫做分数单位.任何一个单位分数1/n=1/p+1/q(n,p,q都是正整数）显然,这里的p,q都大于n.如果设p=n+a,q=n+b（a,b都是正整数）,那么有1/n=1/n+a + 1/n+b.
（1）探索上式中的正整数a,b与正整数n之间存在什么样的关系；
（2）1/4等于哪两个单位分数之和?写出所有可能情形.

Answer 1

（1）∵1 /n＝1/n+a+1 /n+b
∴（n+a）（n+b）=n（n+a）+n（n+b）,
∴n²+nb+an+ab=n²+na+n²+nb,
∴ab=n²；
（2）由（1）知ab=n²,n=4,
∴ab=16,
∴a=1,2,4,；
∴相对应的b=16,8,4,
∴1 /4=1 /5+1/20=1/ 6+1/12=1/8+1/8