（2014•安徽模拟）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，an为n（n=2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+an=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1．（1）若等比数列{an}为2k（k∈N*）阶“期待数

Question

（2014•安徽模拟）称满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）若等比数列{a_n}为2k（k∈N^*）阶“期待数列”，求公比q及{a_n}的通项公式；
（2）若一个等差数列{a_n}既是2k（k∈N^*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”{a_n}的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n）：
（i）求证：|S_k|≤(1)/(2)；
（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S_m=(1)/(2)，试问数列{S_k}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）若q=1，由①得，a₁•2k=0，得a₁=0，矛盾；
若q≠1，则由①，a1+a2+…+a2k＝(a1(1−q2k))/(1−q)＝0，得q=-1，
由②得，a1＝(1)/(2k)或a1＝−(1)/(2k)，
∴q=-1，数列{a_n}的通项公式是ai＝(1)/(2k)•(−1)i−1(i＝1，2，…，2k)，
或ai＝−(1)/(2k)•(−1)i−1(i＝1，2，…，2k)；
（2）设等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_2k（k≥1）的公差为d，d＞0，
∵a₁+a₂+…+a_2k=0，∴(2k•(a1+a2k))/(2)＝0，
∴a₁+a_2k=a_k+a_k+1=0，
∵d＞0，由a₁+a_k+1=0得，a_k＜0，a_k+1＞0，
由①②得，a1+a2+…+ak＝−(1)/(2)，ak+1+ak+2+…+a2k＝(1)/(2)，
两式相减得，k²d=1，∴d＝(1)/(k2)，
又a1•k+(k(k−1))/(2)•d＝−(1)/(2)，得a1＝−(2k−1)/(2k2)．
∴数列{a_n}的通项公式是a_i=a₁+（i-1）•d=−(2k−1)/(2k2)+(i−1)•(1)/(k2)=(−2k−1+2i)/(2k2)；
（3）证明：记a₁，a₂，…，a_n中所有非负数项的和为A，所有负数项的和为B，
则A+B=0，A-B=1，得A=(1)/(2)，B=−(1)/(2)，
（i）−(1)/(2)＝B≤<

作业帮用户 2016-11-20