（2014•南昌模拟）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，an为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+an=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期

Question

（2014•南昌模拟）设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）若某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式．

Answer 1

（1）数列-(1)/(2)，0，(1)/(2)为三阶期待数列…（1分）
数列-(3)/(8)，-(1)/(8)，(1)/(8)，(3)/(8)为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）
（2）设等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（k≥1）的公差为d，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，
∴（2k+1）a₁+(2k(2k+1)d)/(2)=0，
所以a₁+kd=0，
即a_k+1=0，∴a_k+2=d，…（4分）
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）
当d＞0时，据期待数列的条件①②得：a _k+2+a _k+3+…+a _2k+1=(1)/(2)，
∴kd+(k(k−1))/(2)d=(1)/(2)，即d=(1)/(k(k+1))
由a_k+1=0得 a _1+k•(1)/(k(k+1))=0，即 a₁=-(1)/(k+1)，
∴a_n=-(1)/(k+1)+（n-1）(1)/(k(k+1))=(n)/(k(k+1))-(1)/(k)（n∈N*，n≤2k+1）．…（7分）
当d＜0时，
同理可得kd+(k(k−1))/(2)d＝−(1)/(2)，即d＝−(1)/(k(k+1))
由a_k+1=0得a1−k•(1)/(k(k+1))＝0，即a1＝(1)/(k+1)，
∴an＝(1)/(k+1)−(n−1)(1)/(k(k+1))＝−(n)/(k(k+1))+(1)/(k)(n∈N*，n≤2n+1)．…（12分）