（2013•丰台区一模）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，an为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+an=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶

Question

（2013•丰台区一模）设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：|Sk|≤(1)/(2)．

Answer 1

（Ⅰ）数列−(1)/(2)，0，(1)/(2)为三阶期待数列…（1分）
数列−(3)/(8)，−(1)/(8)，(1)/(8)，(3)/(8)为四阶期待数列，…（3分）（其它答案酌情给分）
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，
因为a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=0，
∴(2013(a1+a2013))/(2)＝0，
∴a₁+a₂₀₁₃=0，
即a₁₀₀₇=0，
∴a₁₀₀₈=d，…（5分）
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，
当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝(1)/(2)
∴1006d+(1006×1005d)/(2)＝(1)/(2)即d=(1)/(1006×1007)…（6分）
∴该数列的通项公式为a_n=a₁₀₀₇+（n-1007）d=(n−1007)/(1006×1007)（n∈N^*且n≤2013），…（7分）
当d＜0时，同理可得an＝(1007−n)/(1006×1007)（n∈N^*且n≤2013）．…（8分）
（Ⅲ）当k=n时，显然|Sn|＝0≤(1)/(2)成立； …（9分）
当k＜n时，根据条件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），…（10分）
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，…（11分）
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|
∴|Sk|≤(1)/(2)（14分）