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若函数f(X+2)是偶函数,函数f(x-3)是奇函数,求证f(x)为周期函数,并求出周期.
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若函数f(X+2)是偶函数,函数f(x-3)是奇函数,求证f(x)为周期函数,并求出周期.
▼优质解答
答案和解析
若f(x+2)是偶函数,则f(x+2)=f(-x+2).
若f(x-3)是奇函数,则f(x-3)=-f(-x-3).
f(x+20)
=f[(x+18)+2]
=f[-(x+18)+2]
=f(-x-16)
=f[-(x+13)-3]
=-f[(x+13)-3]
=-f(x+10)
=-f[(x+8)+2]
=-f[-(x+8)+2]
=-f(-x-6)
=-f[-(x+3)-3]
=-[(x+3)-3]
=f(x)
所以,f(x)是以20为周期的周期函数.
若f(x-3)是奇函数,则f(x-3)=-f(-x-3).
f(x+20)
=f[(x+18)+2]
=f[-(x+18)+2]
=f(-x-16)
=f[-(x+13)-3]
=-f[(x+13)-3]
=-f(x+10)
=-f[(x+8)+2]
=-f[-(x+8)+2]
=-f(-x-6)
=-f[-(x+3)-3]
=-[(x+3)-3]
=f(x)
所以,f(x)是以20为周期的周期函数.
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